TRIÁNGULO DE PASCAL O TARTAGLIA Y SU RELACIÓN CON EL BINOMIO DE NEWTON

¿Qué es el triangulo de Pascal o Tartaglia?

El Triángulo de Pascal o Tartaglia es la colocación de números haciendo la forma de un triángulo y de esta manera cada elemento es el resultado de la suma de los dos que están arriba de el, en todos los lados exteriores lleva el numero 1.


¿quién lo inventó?
El triangulo de pascal es llamado así en honor al matemático frances Blaise Pascal. Pascal introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.

Relación con el binomio de Newton:

El triangulo de pascal es utilizado para desarrollar un binomio a cualquier potencia, ayudándonos a no hacer un proceso tan largo. 

Formula del binomio de Newton:                                                                                                                                                                                                                                                           

Ejemplo:

Si queremos hacer (6x-3)^4 entonces debemos:

1.- Hacer el triangulo de pascal (por si no recuerdas como es, te dejo la imagen aquí abajo)

2.- Obtener la estructura con los coeficientes que el triángulo nos da, que en este caso por estar elevado a la cuarta potencia , los términos son 1,4,6,4,1(como se muestra en la imagen)

3.- Ahora  los acomodaremos, poniendo los coeficientes con sus respectivos signos:

1+4+6+4+1

4.- Después pondremos las literales "a" con sus exponentes (como está elevado a la cuarta potencia, empezaremos con el cuatro y se ira disminuyendo:

1a^4+4a^3+6a^2+4a+1

5.- Cuando finalicemos con la "a", ahora seguiremos con la "b" y será lo mismo solo que empezaremos del lado contrario:

1+4b+6b^2+4b^3+1b^4. 

Al juntarse con la "a" obtendremos esto:

a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

6.- Vamos a sustituir:

a=6x

b=-3

*Entonces esto es: (6x)^4+4(6x)^3(-3)+6(6x)^2(-3)^2+4(6x)(-3)^3+(-3)^4

7.- Ahora debemos elevar las potencias (los que están dentro de los paréntesis):

1,296x^4+4(216x^3)(-3)+6(36x^2)(+9)+4(6x)(-27)+(+81)

8.- Ya que hemos terminado de elevar las potencias, seguimos con las multiplicaciones, el cual nos dará:

1,296x^4-2,592x^3+1,944x^2-648x+81

Así que nuestro resultado es: 1,296x^4-2,592x^3+1,944x^2-648x+81

Ahora podemos darnos cuenta de la gran relación que tiene el triangulo de Pascal con el binomio de Newton, y lo mejor es que es de gran ayuda ya que es muy fácil y rápido de realizar. 

Por si aun tienes algunas dudas, te dejo estos vídeos donde seguro tus dudas serán resueltas. !Suerte! y !Gracias por entrar a mi blog!  

  

   

Operaciones con polinomios

Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axⁿ , donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo.

Componentes de un polinomio:

Término: Un término es una parte de una expresión algebraica. Los términos se separan entre sí por los signos de suma (+) o resta (-).

Coeficiente numérico: es el factor numérico del mismo. 

Término constante: es el coeficiente numérico que no contiene variable.

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos.

• Un polinomio que tiene un solo término es llamado monomio. Ejemplo:

• Si consta de dos términos este es llamado binomio. Ejemplo:

• Si el polinomio tiene 3 términos se llama trinomio. Ejemplo:

• Si los polinomios están formados por más de tres términos estos no reciben ningún nombre en especifico, solamente  polinomios por la cantidad de términos que tienen.

Tipos de polinomios:

Existen 8 tipos de polinomios, estos son:

Polinomio completo:

Un polinomio se dice completo con relación a una variable si al ordenarlo éste contiene todas las potencias de la variable, comprendidas entre la mayor potencia y la potencia con exponente cero.

Polinomio incompleto:

Un polinomio incompleto es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

Polinomio semejante:

Un Polinomio semejante es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Polinomio iguales:

Dos polinomios son iguales si se verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Polinomio Nulo:

Un polinomio nulo es aquel que tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio Homogéneo.

Un Polinomio Homogéneo es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

Polinomio heterogéneo.

Un Polinomio Heterogéneo es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

Polinomio ordenado.

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

Suma de polinomios:

Para sumar polinomios debemos:

1. Juntar los términos que son similares, es decir, junta un termino cuadrático con otro termino cuadrático, y así con los términos lineales y los términos independientes.
2. Después de que los juntes, debes sumarlos. 

Ejemplo:

suma: 2x² + 6x + 5 y 3x² - 2x - 1

1. Junta los términos similares: 2x² + 3x²  + 6x - 2x + 5 - 1
2. Suma los terminos similares: (2+3)x² + (6-2)x + (3-1) 

Y esto es igual a: = 5x² + 4x + 4

Aqui te dejo este video para puedas entender mejor.

Resta de polinomios:

Para restar polinomios se necesita:

1. Cambiar los signos a cada término.
2. Después sumamos normalmente.

Ejemplo:

(2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)

= 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x

= 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3

= 3x² + x - 3

Mira este vídeo de como restar polinomios.

Multiplicación de polinomios:

En la multiplicación de polinomios necesitamos:

1. Multiplicar cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio.
2. Después sumamos las respuestas y si se puede simplificar, se simplifica.

Ejemplo:

(2xy)(4y) 

=(2)(4)(xy)(y) 

= 8xy²

División de polinomios:

1. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
2. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
3. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
4. El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
5. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
6. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor. Ejemplo:

Te dejo este vídeo para que tengas una mejor compresión.